解题思路:(Ⅰ)欲证平面COD⊥平面AOB,先证直线与平面垂直,由题意可得:CO⊥AO,BO⊥AO,CO⊥BO,所以CO⊥平面AOB.
(Ⅱ)求异面直线所成的角,需要将两条异面直线平移交于一点,由D为AB的中点,故平移时很容易应联想到中位线,作DE⊥OB,垂足为E,连接CE,则DE∥AO,所以∠CDE是异面直线AO与CD所成的角,利用解三角形的有关知识夹角问题即可.
(Ⅲ)本题的设问是递进式的,第(Ⅰ)问是为第(Ⅲ)问作铺垫的.求直线与平面所成的角,首先要作出这个平面的垂线,由第(1)问可知:CO⊥平面AOB,所以∠CDO是CD与平面AOB所成的角,tan∠CDO=[OC/OD]=[2/OD],当OD最小时,∠CDO最大.
(Ⅰ)由题意,CO⊥AO,BO⊥AO,
∴∠BOC是二面角B-AO-C是直二面角,
又∵二面角B-AO-C是直二面角,
∴CO⊥BO,
又∵AO∩BO=O,
∴CO⊥平面AOB,
∵CO⊂平面COD,∴平面COD⊥平面AOB
(Ⅱ)作DE⊥OB,垂足为E,连接CE,所以DE∥AO,
∴∠CDE是异面直线AO与CD所成的角.
在 Rt△COE中,CO=BO=2,OE=[1/2]BO=1,
∴CE=
CO2+OE2=
5.
又 DE=[1/2]AO=
3.
∴CD=
CE2+DE2=2
2,
∴在Rt△CDE中,cos∠CDE=
DE
CD=
3
2
2=
6
4.
∴异面直线AO与CD所成角的大小为arccos
6
4.
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,CO⊥平面AOB,
∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角,并且tan∠CDO=[OC/OD]=[2/OD],
当OD最小时,∠CDO最大,这时,OD⊥AB,垂足为D,
∴OD=[OA•OB/AB]=
3,
∴tan∠CDO=
2
3=
2
3
3,
∴CD与平面AOB所成角的最大值为arctan
2
3
3.
点评:
本题考点: 直线与平面所成的角;异面直线及其所成的角;平面与平面垂直的判定.
考点点评: 本题考查平面与平面垂直的证明,考查异面直线所成的角的大小的求法,考查直线与平面所成角折大小的求法,解题时要注意空间思维能力的培养.