第一个问题：
∵ABCD是平行四边形,∴AD＝BC、AB∥DC,∴∠AGD＝∠CDG、∠BFC＝∠DCF.
由∠ADG＝∠CDG、∠AGD＝∠CDG,得：∠ADG＝∠AGD,∴AD＝AG.
由∠BCF＝∠DCF、∠BFC＝∠DCF,得：∠BFC＝∠BCF,∴BC＝BF.
由AD＝BC、AD＝AG、BC＝BF,得：AG＝BF,∴AF＋FG＝FG＋BG,∴AF＝BG.
第二个问题：
∵ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠ADC＋∠BCD＝180°,
而∠EDC＝∠ADC/2、∠ECD＝∠BCD/2,∴∠EDC＋∠ECD＝90°,∴∠CED＝90°,
∴∠FEG＝90°.
∴要使△EFG是等腰直角三角形,就需要∠EFG＝∠EGF＝45°,这样就有：
∠CDG＝∠DCF＝45°,从而有：∠ADC＝∠ACD＝90°,∴ABCD就应该是矩形.
∴需要添加的条件可以是下列当中的一项：①∠A＝90°； ②AC＝BD.