Question

在三角形ABC中,角ABC=90度,AB=BC.如图,AD为BC边的中线,若角ADB=角CDE,求证：AD垂直BE

Answer 1

证法一：延长DE交平行于AB的直线CF与F

∵∠ADB=∠CDE

∠ABD=∠FCD=90°

BD=CD----------------------------D为BC的中点

∴ Rt△ABD≌Rt△FCD

∴CF=AB,∠CFD=∠BAD--------------------------------①

延长BE交CF于G:

∵BC=AB=CF

∠BCE=∠FEC=45°

∴△BCE≌△FEC

∴∠CBE=∠CFE-------------------------------------------②

由①、②,且由于△ABD为直角三角形

∴ AD⊥BE

证法二：设AD和BE交于O,作辅助线BF⊥AC,交AC于F,交AD于G

因为：△ABC中,∠ABC等于90°,AB=BC,则∠C=∠FBC=45度

又因为：

CD=BD,∠ADB=∠CDE,

所以 △CDE全等△BDG

所以 CE=BG

又因为：

AB=CB,∠ABG=∠C,

所以 △ABG全等△BCE

所以 ∠AGB=∠BEC

所以 ∠BGO=∠BEF

△BEF和△BOG中,2个角相等,则第三个角相等,

∠BOG=∠BFE=90度

所以 AD⊥BE