一般地,设函数f(x)的定义域为I：
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1
如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1
f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数.
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数.那么就说函说y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性,这一区间叫做y= f(x)的单调区间,在单调区间上增函数的图像是上升的,减函数的图像是下降的.
注意：（1）函数的单调性也叫函数的增减性；
（2）函数的单调性是对某个区间而言的,它是一个局部概念；
（3）判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤有两种主要方法：
1）定义法
a.设x1、x2∈给定区间,且x1
b.计算f(x1)- f(x2)至最简.
c.判断上述差的符号.
2）求导法
利用导数公式进行求导,然后判断导函数和0的大小关系,从而判断增减性,导函数值大于0,说明是增函数,导函数值小于0,说明是减函数,前提是原函数必须是连续的.
补充新叙内容
在数学中在有序集合之间的函数是单调(monotone)的,如果它们保持给定的次序.这些函数最先出现在微积分中后来推广到序理论中更加抽象结构中.尽管概念一般是一致的,两个学科已经发展出稍微不同的术语.在微积分中,我们经常说函数是单调递增和单调递减的,在序理论中偏好术语单调和反单调或序保持和序反转.
一般定义
设
f: P → Q
是在两个带有偏序 ≤ 的集合 P 和 Q 之间的函数.在微积分中,它们是带有平常次序的实数集的子集之间的函数,但是定义仍保持同更一般的序理论定义一样.
函数 f 是单调的,如果只要 x ≤ y,则 f(x) ≤ f(y).因此单调函数保持次序关系.
[编辑]微积分和实分析中的单调性
在微积分中,经常不需要诉诸序理论的抽象方法.如上所述,函数通常是按自然次序排序的实数集的子集之间的映射.
受在实数上的单调函数的图的形状的启发,这种函数也叫做单调递增的(或"非递减"的).类似的,函数叫做单调递减的(或"非递增"的),如果只要 x < y,则 f(x) ≥ f(y),就说它反转了次序.
如果把定义中的次序 ≥ 替换为严格次序 >,则得到了更严格的要求.有这样性质的函数叫做严格递增的.还有通过反转序符号,可以得到对应的严格递减.严格递增或递减的函数是一一映射 (因为
a < b
蕴涵
a neq b
).
要避免把术语非递减和非递增混淆于严格递增和严格递减.
[编辑]序理论中的单调性
在序理论中,不限制于实数集合,可以考虑任意偏序集合甚至是预序集合.在这些情况下上述定义同样适用.但是要避免术语"递增"和"递减",因为一旦处理的不是全序的次序就没有了吸引人的图像动机.进一步的,严格关系 < 和 > 在多数非全序的次序中很少使用,因此不介入它们的额外术语.
单调(monotone)函数也叫做 isotone 或序保持函数.对偶概念经常叫做反单调、antitone 或序反转.因此,反单调函数 f 满足性质
x ≤ y 蕴涵 f(x) ≥ f(y),
对于它的定义域中的所有 x 和 y.容易看出两个单调函数的复合也是单调的.
常数函数是单调的也是反单调的；反过来,如果 f 是单调的也是反单调的,并且如果 f 的定义域是格,则 f 必定是常量函数.
单调函数是序理论的中心.它们大量出现于这个主题的文章和在这些地方的找到的应用中.著名的特殊单调函数是序嵌入(x ≤ y 当且仅当 f(x) ≤ f(y) 的函数)和序同构(双射