Question

已知函数f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a-

1

x ．

∵函数在x=

1

a 处取得极值，∴a=1，

f（x）=x-1-lnx，

∵f（x）≥bx-2，移项（1-b）x＞lnx-1，将b分离得出，b＜1-

lnx-1

x ，令g（x）=1-

lnx-1

x ，

则令g′（x）=

lnx-2

x 2 ，可知在（0，e ²）上g′（x）＜0，在（e ²，+∞）上g′（x）＞0，

∴g（x）在x=e ²处取得极小值，也就是最小值．此时g（e ²）=1-

1

e 2 ，

所以b≤1-

1

e 2 ．

（1）由（1）g（x）=1-

lnx-1

x 在（0，e ²）上为减函数．0＜x＜y＜e ²且x≠e时，

有g（x）＞g（y），1-

lnx-1

x ＞1-

lny-1

y ，整理得

1-lnx

x ＞

1-lny

y ①

当0＜x＜e时，1-lnx＞0，由①得，

y

x ＞

1-lny

1-lnx

当e＜x＜e ²时，1-lnx＜0，由①得

y

x ＜

1-lny

1-lnx ．