解题思路：（1）让分母不为0且真数大于0求解即可．把f（x）分成两个函数，分别求单调性，再利用复合函数的单调性即可．
（2）令x=0，得f（0）=1．即x=0是方程f-1（x）=0的一个解，再利用反证法证明f-1（x）=0有且只有一个解；
（3）利用f（x）为定义在（-1，1）上的增函数，把f[x（x+1）]＞1=f（0）的符号“f”脱去，问题转化为二次不等式问题即可．
（1）由[1+x/1−x＞0，及1-x≠0，得：-1＜x＜1，
∴f（x）的定义域为（-1，1），…（2分）
由于y＝lg
1+x
1−x＝lg(−1+
2
1−x)和y＝
1
1−x]在（-1，1）上都是增函数，
∴f（x）在定义域（-1，1）内是增函数．…（4分）
（2）令x=0，得f（0）=1．即x=1是方程f-1（x）=0的一个解…（7分）
设x1≠0是f-1（x）=0的另一解，则由反函数的定义知f（0）=x1≠0，
这与f（0）=1矛盾，故f-1（x）=0有且只有一个解．…（10分）
（3）由f[x（x+1）]＞1=f（0），且f（x）为定义在（-1，1）上的增函数，得0＜x（x+1）＜1，
解得−
1+
5
2＜x＜−1或0＜x＜
−1+
5
2，这也即为不等式f[x（x+1）]＞1的解．…（16分）
点评：
本题考点： 反函数；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题综合考查了函数的定义域，单调性和互为反函数的两函数之间的关系，不等式的解法等基础知识．在求复合函数的单调性时，遵循的原则是单调性相同复合函数为增函数，单调性相反复合函数为减函数．