解题思路:(1)求出原函数的导函数,由函数在x=1时的导数值等于0求得a的值;
(2)把a=1代入函数解析式,利用导数求出函数的单调区间,构造函数
h(m)=f(m)−f(
1
m
)
,由导数得到函数h(m)的单调性,在定义域内分m<1,m=1,m>1得到h(m)的符号,从而得到f(m)与f([1/m])的大小;
(3)由函数f(x)有两个零点x1、x2,得到lnx1-ax1=0,lnx2-ax2=0,进一步得到
ln
x
1
−ln
x
2
x
1
−
x
2
=a
,lnx1+lnx2=a(x1+x2),把证明x1x2>e2转化为证lnx1+lnx2>2,结合lnx1+lnx2=a(x1+x2)转化为证明
ln
x
1
x
2
>
2(
x
1
−
x
2
)
x
1
+
x
2
(x1>x2),换元后利用导数得到证明.
(1)由f(x)=lnx-ax,得:f′(x)=
1
x−a,
∵函数f(x)在x=1处的切线与x轴平行,
∴f′(1)=1-a=0,即a=1;
(2)当a=1时,f(x)=lnx-x,
∴f′(x)=
1
x−1=
1−x
x,
当0<x<1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
当x>1时,f′(x)<0,f(x)单调递减.
令h(m)=f(m)−f(
1
m)=lnm−m−(ln
1
m−
1
m)=2lnm−m+
1
m,
则h′(m)=
2
m−1−
1
m2=
−m2+2m−1
m2=−(
m−1
m)2≤0.
又∵h(1)=0,
①当0<m<1时,h(m)>0,即f(m)>f(
1
m);
②当m=1时,h(m)=0f(m)=f(
1
m);
③当m>1时,h(m)<0即f(m)<f(
1
m);
(3)证明:∵函数f(x)有两个零点x1、x2,
∴lnx1-ax1=0,lnx2-ax2=0,
∴lnx1+lnx2=a(x1+x2),lnx1-lnx2=a(x1-x2),
∴
lnx1−lnx2
x1−x2=a,
欲证明x1x2>e2,即证lnx1+lnx2>2,
∵lnx1+lnx2=a(x1+x2),
∴即证a>
2
x1+x2,
∴原命题等价于证明
lnx1−lnx2
x1−x2>
2
x1+x2,
即证:ln
x1
x2>
2(x1−x2)
x1+x
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用构造函数法证明不等式,体现了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,对于(3)的证明运用了分析法,换元法等,考查了学生的灵活变形能力,是高考试卷中的压轴题.