若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘f(b),且当x大于零时,f(x)大于1

1个回答

  • 方法1(1)由f(a+b)=f(a).f(b),得f(2a)=[f(a)]^2,令x=2a,则f(x)>=0.

    又f(x)是非零函数,所以f(x)>0

    (2)f(x+a)=f(x)f(a),f(x)=f(x+a)/f(a)

    当xf(a),所以,f(x)为减函数.

    (3)f(x-3).f(5-x^2)=f(x-3+5-x^2)=f(-x^2+x+2)

    原不等式化为:f(-x^2+x+2)≤1/4,两边平方,[f(-x^2+x+2)]^2≤1/16

    f[2(-x^2+x+2)]≤1/16

    因f(x)为减函数,f(4)=1/16,则有2(-x^2+x+2)>=4,-x^2+x>=0

    解得:0≤x≤1

    方法2.因为f(a+b)=f(a)f(b),令式中a=b=0得:f(0)=f(0)*f(0),因f(0)不等于0,所以等式两同时消去f(0),得:f(0)=1.

    2.令f(a+b)=f(a)f(b)中a=b=x/2,于是f(x)=f(0.5x)*f(0.5x)=(f(0.5x))^2>=0.因为是非零函数,所以对于任意x都有f(x)不等于0,所以f(x)>0.

    3.设x10,所以f(x1)/f(x2)=f(x1+x2-x2)/f(x2)=(f(x1-x2)*f(x2))/f(x2),分子分母同时约去f(x2),得:f(x1)/f(x2)=f(x1-x2),因为x11,所以f(x)是R上的减函数.

    参考资料:超哥