Question

关于线性变换可逆的证明题设ε1,ε2,…,ε3是线性空间V的一组基,σ是V上的线性变换,证明σ可逆当且仅当σε1,σε2

Answer 1

设k1σε1+k2σε2+k3σε3=0

必要性.

k1σε1+k2σε2+k3σε3=0

σ(k1ε1+k2ε2+k3ε3)=0

两边作逆变换,得

k1ε1+k2ε2+k3ε3=0

从而,k1=k2=k3.

充分性.

因σε1,σε2,σε3线性无关

故是V的一组基

从而存在一个线性变换μ使得,

μ(σε1)=ε1,μ(σε2)=ε2,μ(σε3)=ε3

由可逆变换的定义知道,μ为σ逆变换.

这个结果可以推广到n维线性空间上面去.