Question

已知函数f（x）=loga[1−mx/x−1]（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数，

Answer 1

解题思路：（1）由已知条件得f（-x）+f（x）=0对定义域中的x均成立，化简即m²x²-1=x²-1对定义域中的x均成立，解出m，并代入题目进行检验．

（2）将对数的真数进行常数分离，先判断真数的单调性，再根据底数的范围确定整个对数式得单调性．

（1）由题意得f（x）+f（-x）对定义域中的x均成立，

∴log_a[1−mx/x−1]+log_a[mx+1/−x+1]=0，即[1−mx/x−1]•[mx+1/−x+1]=1，

即m²x²-1=x²-1，

解得m=-1，或m=1（舍去），

（2）由（1）得f（x）=log_a[1+x/x−1]，

设t=[x+1/x−1]=1+[2/x−1]，

当x₁＞x₂＞1时，当t₁-t₂=

2

x1−1−

2

x2−1=

2(x2−x1)

(x1−1)(x2−1)＞0，

当a＞1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．

所以当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．

同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的图象和性质，利用奇偶性的对应建立方程是解决本题的关键．