Question

已知函数f（x）=ax 2 +x+1（a∈R）

Answer 1

（Ⅰ）当a=

1

4 时，方程

1

4 x ²+x+1=0的△=1-4a=0，

则不等式

1

4 x ²+x+1＞0的解为：{x|x≠-2}；

当a∈（0，

1

4 ]时，方程ax ²+x+1=0的△=1-4a＞0，∴方程的解是 x=

-1±

1-4a

2a ，

ax ²+x+1＞0的解集为：{x| x＞

-1+

1-4a

2a 或 x＜

-1-

1-4a

2a }，

综上，不等式f（x）＞0的解集：{x| x＞

-1+

1-4a

2a 或 x＜

-1-

1-4a

2a }，

（Ⅱ）∵方程f（x）=0至少有一个负根，

∴方程f（x）=0有一个负根或有两个负根，

当a=0时，方程变为x+1=0，得x=-1，故符合题意；

当a≠0时，方程的两个根设为：x ₁，x ₂，

则

△=1-4a≥0

x 1 +x 2 =-

1

a ＜0

x 1 •x 2 =

1

a ＞0 或

△=1-4a≥0

x 1 •x 2 =

1

a ＜0

解得，a＜0或0＜a≤

1

4 ，

综上得，a的取值范围是：（-∞，

1

4 ]．