一.r(A) = n-1时可以用关于特征多项式系数的以下论断:
n阶方阵A的n-1次项系数 = -∑{1 ≤ i ≤ n} a[i,i],1次项系数 = (-1)^(n-1)·∑{1 ≤ i ≤ n} A[i,i],
其中a[i,i]表示i行i列的元素,A[i,i]表示去掉i行i列后的余子式.
证明可将行列式|λE-A|完全展开,而且可推广到:k次项系数 = (-1)^(n-k)·k阶主子式之和.
r(A) = n-1时,A至少有一个零特征值,设λ[k] = 0,则对i ≠ k都有μ[i] = 0.
由根与系数关系,μ[k] = ∑{1 ≤ i ≤ n} μ[i] = (-1)^(n-1)·1次项系数 = ∑{1 ≤ i ≤ n} A[i,i].
另一方面,r(A*) = 1,0作为A*的特征值的重数至少是n-1.
剩下的一个特征值 = A*的特征值之和 = tr(A*) = ∑{1 ≤ i ≤ n} A[i,i] = μ[k].
因此μ[1],μ[2],...,μ[n]是A*的n个特征值.
二.(1)(2) 由A为n阶正交阵且|A| = 1,有f(λ) = |λE-A|
= |λA'A-A| = |λA'-E|·|A| = |λA-E| = (-λ)^n·|E/λ-A| = (-1)^n·λ^n·f(1/λ).
注意到λ^n·f(1/λ)的系数恰好是f(λ)系数的反排.
n为偶数时(-1)^n = 1,故a[i] = a[n-i]; 而n为奇数时(-1)^n = -1,故a[i] = -a[n-i].
(3) 设A = [a,b;c,d],由a²+c² = 1,不妨设a = cos(t),c = sin(t).
进而由a²+b² = 1,c²+d² = 1可得b = ±sin(t),d = ±cos(t).
由1 = cos²(t)+sin²(t) ≥ ±cos²(t)±sin²(t) = ad-bc = |A| = 1,知d = cos(t),b = -sin(t).
因此行列式为1的2阶正交阵总可表示为[cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t)].
此时可验证B = [cos(t/2),-sin(t/2);sin(t/2),cos(t/2)]即满足条件.
注:其实[cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t)]对应平面上以t为角度的旋转,
从这个角度理解,B的构造就很直接了.