Question

（2013•衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4

Answer 1

解题思路：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，结合∠ABE=∠BCF，证明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16为常数；

（2）设AP=x，则PD=4-x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出关于x的一元二次函数，求出DM的最大值．

（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，

又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，

∴∠ABE=∠BCF，

∵在△ABE和△BCF中，

AB＝BC

∠ABE＝∠BCF

∠AEB＝∠BFC，

∴△ABE≌△BCF（AAS），

∴AE=BF，

∴AE²+CF²=BF²+CF²=BC²=16为常数；

（2）设AP=x，则PD=4-x，

由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，

∴△PDM∽△BAP，

∴[DM/AP]=[PD/BA]，

即[DM/4−x]=[x/4]，

∴DM=

x(4−x)

4=x-[1/4]x²，

当x=2时，即点P是AD的中点时，DM有最大值为1．

点评：

本题考点： 正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．

考点点评： 本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知识，此题有一定的难度，是一道不错的中考试题．