你们都没有说到点子上去,首先无穷小是一个变量,它的含义是比小给的任意数都要小,这点很重要,无穷大的含义类似,是比你给的任意数都要大.
做指数的极限题目时最好是这样做：求lim（x趋向于无穷或0）f（x）^g（x）=e^g（x）*lng（x）.
所以lim(n趋向正无穷）(1+1/n)^n =lime^n*ln（1+1/n）,因为limn*ln（1+1/n）=1,所以所求极限为e（这就是楼上们都说的不用证明的,事实上这样就已经证明了）同样的,lim(n趋向正无穷）(1+n）^（1/n）=e^（1/n）*ln(1+n),lim（1/n）*ln(1+n)可以用罗比达法则求出极限为0,所以所求极限为1,第三题稍微难一点lim(n趋向正无穷)(n!)^(1/n）=e^1/n*（ln1+ln2+……lnn）而lim1/n*（ln1+ln2+……lnn）=lim1/n*（ln1/n+ln2/n+……lnn/n+nlnn）=∫（上限为1,下限为0）lnxdx（这是个反常积分,不过是收敛的）+lnn=-1+lnn,所以lim(n趋向正无穷)(n!)^(1/n）=limn*e^(-1）=∞.
二楼的还行,三楼说的虽然多,不过没有说到点子上.关于什么时候可以舍去无穷小,什么时候不可以?再求lim(n趋向无穷或零）f（n）=?时记住它的含义是求n趋向无穷或零时,f（n）趋向于多少?所以只有f（n）中的单独无穷小量才会在nn趋向无穷或零时趋向于零,或者说是在这个无穷小量周围只有加减,没有乘除,没有幂,他才一定是无穷小量.当然这个无穷小量也可以是包括幂运算的整体.
lim(n趋向正无穷）(1+n）^（1/n）=1不是因为lim(1+n）^（1/n）=lim(1+n）^0=1~而是因为lim(n趋向正无穷）(1+n）^（1/n）=e^（1/n）*ln(1+n),lim（1/n）*ln(1+n)可以用罗比达法则求出极限为0,所以所求极限为1
这样你总明白了吧.