已知如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,M是AC边的中点,AD⊥BM交BC于D,交BM于E,CF⊥AC,证

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  • 解题思路:(1)由三角形ABC为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质得到AB=AC,且∠ABC=∠ACB=45°,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,且AB=AC,利用AAS得到三角形ABM与三角形CAF全等;

    (2)由全等三角形的对应边相等得到AM=CF,由M为AC中点,得到AM=CM,等量代换得到CM=CF,由公共边CD=CD,且夹角相等得到三角形CMD与三角形CFD全等,利用全等三角形对应角相等得到∠DMC=∠F,等量代换即可得证.

    证明:(1)∵在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,

    ∴∠ABC=∠ACB=45°,

    ∵∠F+∠CAF=90°,∠CAF+∠AMB=90°,

    ∴∠F=∠AMB,

    在△ABM和△CAF中,

    ∠BAM=∠ACF

    ∠AMB=∠F

    AB=CA,

    ∴△ABM≌△CAF(AAS);

    (2)∵∠MCD=45°,

    ∴∠FCD=90°-∠MCD=45°,

    ∵M为AC的中点,

    ∴AM=CM,

    ∵△ABM≌△CAF,

    ∴AM=CF,

    ∴CM=CF,

    在△CMD和△CFD中,

    CM=CF

    ∠MCD=∠FCD

    CD=CD,

    ∴△CMD≌△CFD(SAS),

    ∴∠DMC=∠F,

    则∠AMB=∠DMC.

    点评:

    本题考点: 全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.

    考点点评: 此题考查了全等三角形的判定与性质,以及等腰直角三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.