解题思路：（1）利用函数
f(x)＝
ax+b
1+
x
2
为奇函数，且
f(
1
2
)＝
2
5
，可得
f(−
1
2
)＝−f(
1
2
)＝−
2
5
，从而得到关于a、b的方程组，解之即可；
（2）利用单调性的定义即可证明；
（3）利用f（x）为奇函数，将不等式f（t-1）+f（t）＜0转化为f（t）＜-f（t-1）=f（1-t），再利用函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数得到关于t的不等式 组，解之即可．
（1）∵f(x)＝
ax+b
1+x2为奇函数，且f(
1
2)＝
a
2+b
1+(
1
2)2＝
2
5
∴f(−
1
2)＝
−
a
2+b
1+(−
1
2)2＝−f(
1
2)＝−
2
5，解得：a=1，b=0．
∴f(x)＝
x
1+x2
（2）证明：在区间（-1，1）上任取x1，x2，令-1＜x1＜x2＜1，f(x1)−f(x2)＝
x1
1+x12−
x2
1+x22＝
x1(1+x22)−x2(1+x12)
(1+x12)(1+x22)=
(x1−x2)(1−x1x2)
(1+x12)(1+x22)
∵-1＜x1＜x2＜1
∴x1-x2＜0，1-x1x2＞0，（1+x12）＞0，（1+x22）＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2）
故函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数．
（3）∵f（t-1）+f（t）＜0
∴f（t）＜-f（t-1）=f（1-t）
∵函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数
∴
点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题考查函数奇偶性与单调性的性质应用，着重考查学生理解函数奇偶性与用定义证明单调性及解方程，解不等式组的能力，属于中档题．