Question

若A,B 是抛物线y^2=4x 上不同的两点 弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与X轴相交于点P 则称弦AB是点P点一条

Answer 1

（I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”,且点A、B的坐标分别是

（x1,y1）、（x2,y2）（x1 x2）,则y21=4x1,y22=4x2,

两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1 x2,所以y1+y2 0.

设直线AB的斜率是k,弦AB的中点是M（xm,ym）,则

k= .

从而AB的垂直平分线l的方程为

又点P（x0,0）在直线l上,所以-ym

而 于是

故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,弦AB所在直线的方程是 ,代入 中,

整理得 （•）

则 是方程（•）的两个实根,且

设点P的“相关弦”AB的弦长为l,则

因为0< 3,则2(x0-3) (0,4x0-8),所以当t=2(x0-3),即 =2(x0-3)时,

l有最大值2(x0-1).

若2