解题思路：由f（[π/2]）=f（[2π/3]）求出函数的一条对称轴，结合f（x）在区间[[π/6]，[π/2]]上具有单调性，且f（[π/2]）=-f（[π/6]）
可得函数的半周期，则周期可求．
由f（[π/2]）=f（[2π/3]），可知函数f（x）的一条对称轴为x=
π
2+
2π
3
2=
7π
12，
则x=[π/2]离最近对称轴距离为[7π/12-
π
2=
π
12]．
又f（[π/2]）=-f（[π/6]），且f（x）在区间[[π/6]，[π/2]]上具有单调性，
∴x=[π/6]离最近对称轴的距离也为[π/12]．
函数图象的大致形状如图，
∴[T/2=
7π
12-
π
6+
π
12=
π
2]．
则T=π．
故答案为：π．
点评：
本题考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的周期性及其求法．
考点点评： 本题考查f（x）=Asin（ωx+φ）型图象的形状，考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力，是中档题．