Question

已知抛物线C：y2=ax与双曲线x22-y22=1的右焦点重合．

Answer 1

解题思路：（1）确定双曲线

x

2

2

-

y

2

2

=1的右焦点为（2，0），可得

a

4

＝2

，即可求抛物线C的方程；

（2）由题意得直线方程为y=x-2，与抛物线方程联立，证明x₁x₂+y₁y₂=4-16≠0，即可得出结论．

（1）双曲线

x2

2-

y2

2=1的右焦点为（2，0），故[a/4＝2，解得a=8．

∴所求抛物线方程为y²=8x；

（2）由题意得直线方程为y=x-2，设交点坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），

联立方程组

y＝x−2

y2＝8x]，可化为x²-12x+4=0，△＞0

∴x₁+x₂=12，x₁x₂=4，

∴y₁y₂=（x₁-2）（x₂-2）=-16，

故x₁x₂+y₁y₂=4-16≠0，

∴OM、ON不垂直，即∠MON不是直角．

点评：

本题考点： 直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程；双曲线的简单性质．

考点点评： 本题考查双曲线的几何性质，考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，确定抛物线方程是关键．