Question

已知双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0）的离心率,e=√5/2,点（0,1)与双曲线上的点最小距离是2/5

Answer 1

c/a=√5/2 ,c=2a/√5,c=b/√5,a=2b

x2/a2-y2/b2=1,x²-4y²=4b²

设A（0,1) P(x,y)为双曲线上动点 ,

则 x²=4b²+4y²

|PA|²=x²+(y-1)²=4b²+4y²+y²-2y+1

=5y²-2y+1+b²=5(y-1/5)²+b²+4/5

当y=1/5,PA|²取最小值 b²+4/5=(2/5√30,)²

解得：b²=4,a²=16

∴双曲线方程:x²/16-y²/4=1