解题思路:(1)设圆心为C(x,y),线段MN的中点为E,依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2,由此能求出动圆圆心的轨迹C的方程.(2)设E(x1,x124),F(x2,x224),由A,E,F三点共线,得到x1x2=-8,由已知条件利用导数性质求出P点坐标为(x1+x22,−2),由此能求出|PE|•|OF|当且仅当x2=-x1时取最小值,从而能求出直线EF方程为y=2.
(1)设圆心为C(x,y),线段MN的中点为E,则|ME|=
|MN|
2,
依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2,
∴x2+(y-2)2=22+y2,整理,得x2=4y,
∴动圆圆心的轨迹C的方程为x2=4y.
(2)设E(x1,
x12
4),F(x2,
x22
4),
由A,E,F三点共线,得
x22
4−2
x2=
x12
4−2
x1,∴x1x2=-8,
由x2=4y,得y=[1/4x2,∴y′=
1
2x,
∴PE的方程为y=
x12
4=
x1
2(x−x1),即y=
x1
2x−
1
4x12.
同理PF的方程为y=
x2
2x−
1
4x22,
解得P点坐标为(
x1+x2
2,
x1x2
4]),即(
x1+x2
2,−2),
∴|PE|=
1+
x12
4•|
x1+x2
2−x1|=
(x2−x1)•
4+x12
4,
∴|PE|•|OF|=
(x2−x1)2•
16+4(x12+x22)+x12•x22
16
=
(x12+x22+16)•
16+4(x12+x22)+x12x22
16
=
(x12+x22+16)•
16+4(x12+x22)+64
16
=
(x12+x22+16)•
20+(x12+x22)
8
≥
(2|x1x2|+16)•
20+2|x1x2|
8=24,
当且仅当x2=-x1时,上式取等号,
此时EF的斜率为0,所求直线EF方程为y=2.
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.
考点点评: 本题考查动圆圆心的轨迹方程的求法,考查考查直线方程的求法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.