已知动圆过定点A(0,2),且在x轴上截得的弦MN的长为4.

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  • 解题思路:(1)设圆心为C(x,y),线段MN的中点为E,依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2,由此能求出动圆圆心的轨迹C的方程.(2)设E(x1,x124),F(x2,x224),由A,E,F三点共线,得到x1x2=-8,由已知条件利用导数性质求出P点坐标为(x1+x22,−2),由此能求出|PE|•|OF|当且仅当x2=-x1时取最小值,从而能求出直线EF方程为y=2.

    (1)设圆心为C(x,y),线段MN的中点为E,则|ME|=

    |MN|

    2,

    依题意得|CA|2=|CM|2=|ME|2+|EC|2

    ∴x2+(y-2)2=22+y2,整理,得x2=4y,

    ∴动圆圆心的轨迹C的方程为x2=4y.

    (2)设E(x1,

    x12

    4),F(x2,

    x22

    4),

    由A,E,F三点共线,得

    x22

    4−2

    x2=

    x12

    4−2

    x1,∴x1x2=-8,

    由x2=4y,得y=[1/4x2,∴y′=

    1

    2x,

    ∴PE的方程为y=

    x12

    4=

    x1

    2(x−x1),即y=

    x1

    2x−

    1

    4x12.

    同理PF的方程为y=

    x2

    2x−

    1

    4x22,

    解得P点坐标为(

    x1+x2

    2,

    x1x2

    4]),即(

    x1+x2

    2,−2),

    ∴|PE|=

    1+

    x12

    4•|

    x1+x2

    2−x1|=

    (x2−x1)•

    4+x12

    4,

    ∴|PE|•|OF|=

    (x2−x1)2•

    16+4(x12+x22)+x12•x22

    16

    =

    (x12+x22+16)•

    16+4(x12+x22)+x12x22

    16

    =

    (x12+x22+16)•

    16+4(x12+x22)+64

    16

    =

    (x12+x22+16)•

    20+(x12+x22)

    8

    (2|x1x2|+16)•

    20+2|x1x2|

    8=24,

    当且仅当x2=-x1时,上式取等号,

    此时EF的斜率为0,所求直线EF方程为y=2.

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题.

    考点点评: 本题考查动圆圆心的轨迹方程的求法,考查考查直线方程的求法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.