Question

求I=∫∫ xz^2dydz+(y*x^2-z^3)dzdx+(2xy+z*y^2)dxdy /x^2+y^2+z^2,

Answer 1

首先将分母带换掉,这个因为积分函数中每一个点都是在所给曲面上的,投影面也是曲面,不是坐标平面,这个你应当懂吧?这是最基本的了,可以将分母换掉,根据曲面方程,或者干脆把曲面方程带入分母,就知道分母为a^2吧?不管他了,剩下的部分,用高斯公式了,但是要注意,此时的曲面不是封闭曲面,要添加辅助面的,辅助面为z = 0,另外你的题目不完整,没有说明上半球的那一侧吧?只有说明了,才能取辅助面的正方向为上侧还是下侧?知道为何要把分母换掉了吧?因为要是不带换分母直接取z=0,则分母中含有使积分函数没有意义的点了,就是原点,因此要提前把分母换掉,再用高斯公式简单的……那么化成三重积分后的式子为∫∫∫（x^2+y^2+z^2）dxdydz,由于你没有给上半球的那一侧,转化为三重积分后的式子是正是负不知道的……可以用球面坐标代换计算,注意,此时你不能在把曲面方程直接带入了,因为此时积分函数中的点不一定满足所给球的方程,因为是三重积分,积分函数可以取封闭曲面内的任意一点,不是都满足Z=√a^2-x^2-y^2的,其实只要取z=0就不满足了吧?因此不能再像换分母那样换积分函数了,用球面坐标代换简单……但是求出要还要计算z=0时的曲面积分值,因为你所处的结果为封闭空间的,是由两个曲面叠加后的结果,我们要的只是其中的上半球面,所以当z=0时,带入,得到曲面积分（其实也是二重积分,但是有正负号的,因为你没有给出球取哪一侧,我也判断不出来了……因为此时的积分曲面就是xoy面,所以就是二重积分了）∫∫2xydxdy ,积分范围为圆的方程a^2=x^2-y^2……希望写的对你要帮助