Question

设B为可逆矩阵，A是与B同阶方阵，且满足A2+AB+B2=0，证明A和A+B都是可逆矩阵．

Answer 1

解题思路：先化简A²+AB+B²=0，使得等式的一边只含有B，这样由于B可逆，可以得到|B|≠0，再根据矩阵可逆⇔矩阵的行列式非0，就可以证明．

∵A²+AB+B²=0，

∴A（A+B）=-B²，

而B可逆，

故：|-B²|=（-1）ⁿ|B|²≠0，

∴|A（A+B）|=|-B²|≠0，

∴A，A+B都可逆，证毕．

点评：

本题考点： 可逆矩阵的性质．

考点点评： 证明方阵可逆的方法，通常的方法：①定义；②方阵的行列式不为0；③方阵的秩等于阶数等．