解题思路：（1）连CB、OC，根据切线的性质得∠ABD=90°，根据圆周角定理由AB是直径得到∠ACB=90°，即∠BCD=90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=BE，所以∠BCE=∠CBE，所以∴OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，然后根据切线的判定定理得CF是⊙O的切线；
（2）CE=BE=DE=[3/2]，在Rt△BFE中，利用正切的定义得tanF=[BE/BF]=[3/4]，可计算出BF=2，再利用勾股定理可计算出EF=[5/2]，所以CF=CE+EF=4，然后在Rt△OCF中，利用正切定义可计算出OC．
（1）证明：连CB、OC，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴DB⊥AB，
∴∠ABD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BCD=90°，
∵E为BD的中点，
∴CE=BE，
∴∠BCE=∠CBE，
而∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC+∠CBE=∠OCB+∠BCE=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
（2）CE=BE=DE=[3/2]，
在Rt△BFE中，tanF=[BE/BF]=[3/4]，
∴BF=2，
∴EF=
BE2+BF2=[5/2]，
∴CF=CE+EF=4，
在Rt△OCF中，tanF=[OC/CF]=[3/4]，
∴OC=3，
即⊙O的半径为3．
点评：
本题考点： 切线的判定；勾股定理．
考点点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了勾股定理、圆周角定理．