Question

已知{an}为等比数列，其前n项和为Sn，且Sn=2n+a（n∈N*）．

Answer 1

解题思路：（1）由已知先求S₁=a₁=2+a≠0，然后利用n≥2时，

a

n

＝

S

n

−

S

n−1

＝

2

n−1

及{a_n}是等比数列，可求a及通项

（2）由（1）得

b

n

＝n

a

n

＝n•

2

n−1

，结合数列的项的特点，考虑利用错位相减求和即可求解

（1）当n=1时，S₁=a₁=2+a≠0．…（1分）

当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝2n−1．…（3分）

因为{a_n}是等比数列，

所以a1＝2+a＝21−1＝1，即a₁=1．a=-1．…（5分）

所以数列{a_n}的通项公式为an＝2n−1（n∈N^*）．…（6分）

（2）由（1）得bn＝nan＝n•2n−1，设数列{b_n}的前n项和为T_n．

则Tn＝1×1+2×2+3×22+4×23+…+n•2n−1．①

2Tn＝ 1×2+2×22+3×23+…+(n−1)•2n−1+n•2n．②

①-②得 −Tn＝1×1+1×2+1×22+…+1×2n−1−n•2n…（9分）

=1+（2+2²+…+2^n-1）-n•2ⁿ=1-2（1-2^n-1）-n•2ⁿ…（11分）

=-（n-1）•2ⁿ-1．…（12分）

所以Tn＝(n−1)•2n+1．…（13分）

点评：

本题考点： 数列的求和；等比数列的通项公式．

考点点评： 本题主要考查了数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用及错位相减求和方法的应用．