Question

已知：如图,△ABC的外接圆是⊙O,外角∠MAC的平分线交BC的延长线于D,其反向延长线交⊙O于E.求证：AD2

Answer 1

根据圆外一点向圆作二割线的性质,

或者根据圆内接四边形外角等于内对角性质,

〈CAD=〈EBC,

〈EDB=〈CDA,

△ADC∽△BDE,

可得：

CD*BD=AD*ED,

ED=AD+AE,

CD*BD=AD^2+AD*AE,

AD^2=BD*CD-AD*AE,（1）

四边形BCEA内接于圆,

〈ACD=〈BEA,（圆内接四边形外角等于内对角）,

〈MAD=〈EAB（对顶角相等）,

〈CAD=〈DAM,（外角平分）,

〈CAD=〈EAB,

△EAB∽△CAD,

AB/AD=AE/AC,

AB*AC=AD*AE,

替换（1）式中的AD*AE,

∴AD^2=DB*DC-AB*AC.