设函数f(x)=ax+1/(x+b) (a,b是整数),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3,(1)

3个回答

  • (1)y=ax+1/(x+b)

    y'=a-1/(x+b)^2

    x=2时,y'=a-1/(2+b)^2=0

    且f(2)=3,即2a+1/(2+b)=3

    解得a=1,b=-1(非整数解舍去)

    f(x)=x+1/(x-1)

    (2)f(x)=(x-1)+1/(x-1)+1

    所以f(x)可以看做由g(x)=x+1/x向左平移一个单位再向上平移一个单位得到

    g(x)的对称中心为原点

    则f(x)对称中心为(1,1)

    (3)坐标平移不影响三角形的面积,因此本题可以化简为

    g(x)=x+1/x上一点的切线与y轴和y=x所围成的三角形的面积

    切点p(a,b)的新坐标为(a-1,b-1)

    下面问题是这个a和b显然不是(1)中的a和b,所以切线方程为

    y-(a-1+1/(a-1))=(1-1/(a-1)^2)(x-a+1)

    在y轴上的截距为2/(a-1),与y=x的交点横坐标为2(a-1)

    所以S=1/2*2/|a-1|*2|a-1|=2