例1：如图（1）△abc中,ad＝df＝fb,ae＝eg＝gc,be交fg于o,求foog的值. ∵ad＝df＝fb ae＝eg＝gc ∴de∥fg∥bc 且fode＝bfbd＝12；ogbc＝egbc＝12 ∴ofde＝ogbc , ∴ofog＝debc ＝adab ＝ 13 即ofog 的值是13 2.证明线段成比例
说明：证明中借助等线段和等比性质,找“中间比”过渡,是证明线段成比例的常用方法之一. 例2,已知,如图（2）,□abcd中,de＝bf, 求证 ＝cddq =pdpq 证明：∵四边形abcd是平行四边形 ∴ fd∥bc,be∥dq cdcq＝bfbq,pdpq＝pepb 由等比性质得,pdpq＝debq 而de＝bf ∴debq＝bfbd ,∴＝cdcq=pdpq 上述例2是利用等线段和等比性质,证明线段成比例,下面例3再次说明了“中间比”的作用. 例3,如图（3）,已知在□abcd的对角线ac上取一点g,过g作一直线分别交ab的延长线,bc和ad及cd的延长线于p、q、e、s. 求证：gp?gq＝ge?gs 分析：证明前可将等积式写成比例式,通过找“中间比” 证明：∵abcd是平行四边形 ∴ae∥qc,ap∥cs ∴gegq ＝gagc ,gpgs＝ gagc ∴gegq ＝ gpgs ∴gp?gq ＝ge?gs
而作平行线也是证明线段成比例常用的辅助线作平行线时就考虑两点：一是过哪一点作；二是作哪一条直线的平行线,其原则是：通过作平行线得到的比例式中应尽可能多的出现求证或已知中的线段. 3.用比例线段证明线段相等的问题 说明：用比例线段证明线段相等的问题,一般是：要证a＝b,只要证出 am=bn,再证出m＝n即可. 例4,如图（4）△abc为直角三角形,ackh为正方形,bh交ac于p,pq∥bc交ab于q. 求证：∵ackh是正方形 ∴bc∥ah ∴ pcbc＝ apah ∴pq∥bc ∴pqbc ＝ apac ∴ac＝ah ∴ pcbc ＝ pqbc ∴pc＝pq 4.证明形如“a?b＝c?d＋m?n”的问题 说明：上述类型的一般方法是： （1）能否因式分解,转化为证等积式的问题. （2）用勾股定理或相似三角形得其中的平方项或乘积项. （3）把a?b分成a1b1＋a2b2,使其中a1b1＝cd,
再证a2b2＝m?n 下面例5就是运用方法（2）求证. 例5,如图（5）,在△abc中,∠b＝∠c＝2∠a, 求证：ab2＝bc2＋ab?bc 证明：延长bc到点d,使cd＝ab,连结ad ∵∠b＝∠acb ∴ab＝ac ∴ab＝cd,∴ac＝cd ∴∠d＝ 12∠acb＝∠bac ∴△abc∽△dba ∴ abbd＝ bcab ∴ab2＝bc?bd＝bc（bc＋cd）＝bc2＋ab?bc 5.证明形如“ 1a+1b＝1c ”的问题 说明：上述类型的一般方法是：先转化为证明“ ca+cb ＝1”的形式,然后（1）求出各比值再相加；（2）用通分的方法转化为证明比例式的问题. 下面例题就是采用方法（2）来求证. 例6,已知如图（6）,在△abc中,∠a∶∠b∶∠c＝1∶2∶4 求证：1ab+1ac ＝ 1bc 证明：作ae＝ac交bc的延长线于e,延长ab到d,使bd＝ac,连结de,设∠abc＝α ∵∠aec＋∠cae＝∠acb＝4α
∴∠aec＝∠ace＝3α ∴∠cae＝3α,∠eab＝2α ∵be＝ae＝ac＝bd ∴∠bde＝∠bed＝α ∴△abc∽△dba ∴adae ＝ abbc ∴ab+bdac ＝ abbc ∴abac +1＝ abbc ∴abac +1＝ abbc ∴1ab+1ac ＝ 1bc