存在“最大的质数”吗
上小学的时候,我们就知道所有的自然数可以分为质数（素数）和合数两类,当然还特别规定了“1既不是质数,也不是合数”.100以内的质数,从小到大依次是：2、3、5、7、11、13、17、19、……、83、89、97.不用说了,你一定会背下来.那么质数的个数是不是有限多的呢?
在解决这个问题之前,我们先来看看另一个问题：怎样判断一个已知自然数是不是质数.比如,143是不是质数?
你一定会按照下面这个步骤去判断：先用最小的质数2去除143,不能整除；再用3去试试,还是不行；再依次用5、7试试,还是不行；11呢?行!143＝11×13,所以143不是质数,而是合数.所以,判断一个数是不是质数,只需用比这个数小的所有质数,依次去除它即可,如果都不能整除的话,这个数就一定是质数；相反,只要这个数能够被某一个质数整除,这个数就一定是合数.这种方法所依据的原理是：每一个合数都可以表示成若干个质数的乘积.不用说,这叫做“分解质因数”,也是小学数学的知识.
我们先假设质数的个数是有限多的,那么必然存在一个“最大的质数”,设这个“最大的质数”为N.下面我们找出从1到N之间的所有质数,把它们连乘起来,就是：
2×3×5×7×11×13×……×N
把这个连乘积再加上1,得到一个相当大的数M：
M＝2×3×5×7×11×13×……×N＋1
那么这个M是质数还是合数呢?乍一想,不难判断,既然N是最大的质数,而且M＞N,那么M就应该是合数.既然M是合数,就可以对M分解质因数.可是试一下就会发现,我们用从1到N之间的任何一个质数去除M,总是余1!这个现实,又表明M一定是质数.
这个自相矛盾的结果,无非说明：最大的质数是不存在的!如果有一个足够大的质数N,一定可以像上面那样,找到一个比N更大的质数M.既然不存在最大的质数,就可以推知自然数中的质数应该有无限多个.