（2013•浦东新区二模）数列{an}满足an+1 - 知识问答

（2013•浦东新区二模）数列{an}满足an+1＝4an−2an+1（n∈N*）．

1个回答

解题思路：根据已知中数列{a_n}满足
a
n+1
＝
4
a
n
−2
a
n
+1
（n∈N^*）．举出正例a₁=1或a₁=2，可判断①；举出反例a₁=[1/5]，可判断②；举出反例a₁=-2，可判断③；构造数列b_n=
a
n
−1
a
n
−2
，结合已知可证得数列{b_n}是以[3/2]为公比的等比数列，进而可判断④．
当a₁=1时，a_n=1恒成立，当a₁=2时，a_n=2恒成立，故①正确；
当a₁=[1/5]时，a₂=-1，数列{a_n}为有穷数列，但不存在某一项ak＝
49
65，故②错误；
当a₁=-2时，a₁∈（-∞，-1）∪（1，2），此时a₂=10 a₃=[38/11]，数列不存在单调递增性，故③错误；
∵an+1＝
4an−2
an+1
∴an+1−1＝
4an−2
an+1−1=
3an−3
an+1…①
且an+1−2＝
4an−2
an+1−2=
2an−4
an+1…②
①÷②得：
an+1−1
an+1−2=[3/2]•
an−1
an−2
令b_n=
an−1
an−2，则数列{b_n}是以[3/2]为公比的等比数列
则b_n=(
3
2)n−1•b1
∴a_n=
2•(
3
2)n−1•b1+1
(
3
2)n−1•b1−1=2+
3
(
点评：
本题考点：命题的真假判断与应用．
考点点评：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，属于难题

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