Question

已知函数f（log2x）=x-[1/x]

Answer 1

解题思路：（1）利用换元法即可求f（x）的表达式；（2）根据指数函数的运算性质将不等式2tf（2t）+mf（t）≥0进行转化即可求实数m的取值范围；（3）先求出函数f（x）的定义域，然后根据函数的奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可求实数m的取值范围．

（1）设t=log₂x，则x=2^t，

即f（t）=2^t-2^-t，

即f（x）=2^x-2^-x．

（2）∵f（x）=2^x-2^-x．

∴不等式等价为2^t（2^2t-2^-2t）+m（2^t-2^-t）≥0，

即2^t（2^t-2^-t）（2^t+2^-t）+m（2^t-2^-t）≥0，

∵t∈[1，2]，

∴2^t-2^-t＞0，

∴不等式等价为2^t（2^t+2^-t）+m≥0，

∴m≥-2^t（2^t+2^-t）=-（2^2t+1），

则m≥5．

（3）x=sinα+cosα

2sin(α+

π

4)，α∈（-[π/2]，0），

∴x∈（-1.1），

又f（x）=2^x-2^-x是奇函数和增函数，

则不等式 f（1-m）+f（1-m²）＜0等价为f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），

即

1−m＜m2−1

−1＜1−m＜1

−1＜m2−1＜1，

解得1＜m＜

2．

点评：

本题考点： 函数奇偶性的判断；奇偶性与单调性的综合．

考点点评： 本题主要考查指数函数的运算，综合考查学生的计算能力，涉及的知识点较多，综合性较强，难度较大．