Question

定义在（-1，1）上的函数f（x），（i）对任意x，y∈（-1，1）都有：f(x)+f(y)＝f(x+y1+xy)；（i

Answer 1

解题思路：（1）欲说明f（x）在（-1，1）上是奇偶性，只需说明f（-x）与f（x）的关系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x，即可求出所求；

（2）先设0＜x₁＜x₂＜1，然后作差求f（x₁）-f（x₂），，根据题目条件进行化简变形判定其符号，根据函数单调性的定义即可判定．

（1）令x=y=0⇒f（0）=0，令y=-x，则f（x）+f（-x）=0⇒f（-x）=-f（x）⇒f（x）在（-1，1）上是奇函数．

（2）设0＜x₁＜x₂＜1，则f(x1)−f(x2)＝f(x1)+f(−x2)＝f(

x1−x2

1−x1x2)，而x₁-x₂＜0，0＜x1x2＜1⇒

x1−x2

1−x1x2＜0⇒f(

x1−x2

1−x1x2)＞0．即当x₁＜x₂时，f（x₁）＞f（x₂）．

∴f（x）在（0，1）上单调递减．

点评：

本题考点： 抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．

考点点评： 本题主要考查了函数的单调性的判定与证明，以及函数奇偶性的判定，函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质，单调性是函数的“局部”性质，属于基础题．