Question

已知方程x2+y2-4x+2my+2m2-2m+1=0表示圆C．

Answer 1

解题思路：（I）将圆C方程化成标准形式得（x-2）²+（y+m）²=-m²+2m+3，因此若方程表示圆则-m²+2m+3＞0，解之得即可得到实数m的取值范围；

（II）将点P、Q的坐标代入圆C的方程解出m=1，从而得到圆心C₁（2，-1）且径R₁=2．算出圆x²+y²-4x-5=0的圆心为C₂（2，0）且半径R₂=3，算得|C₁C₂|=1=R₂-R₁，故圆C₁与圆C₂相内切，因此可得存在满足条件的圆C₁．

（I）将方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0化成标准形式，得

（x-2）²+（y+m）²=-m²+2m+3

∵方程x²+y²-4x+2my+2m²-2m+1=0表示圆C．

∴-m²+2m+3＞0，解之得-1＜m＜3

（II）若点P、Q在圆C上，则

22+12−4×2+2m+2m2−2m+1＝0

42+(−1)2−4×4−2m+2m 2−2m+1＝0，解之得m=1

∴圆C的标准方程为（x-2）²+（y+1）²=4

圆心为C₁（2，-1），半径R₁=2

又∵圆C₂：x²+y²-4x-5=0的圆心为C₂（2，0），半径R₂=3，圆心距|CC₂|=1

∴圆心距|C₁C₂|=1=R₂-R₁，故圆C₁与圆C₂相内切

因此存在点C₁（2，-1），使圆C₁与圆x²+y²-4x-5=0相切．

点评：

本题考点： 圆的标准方程；圆与圆的位置关系及其判定．

考点点评： 本题给出含有参数m的圆方程，求参数m的取值范围并探索与已知圆相切的圆是否存在．着重考查了圆的标准方程和圆与圆的位置关系等知识，属于中档题．