Question

（2012•西城区二模）若正整数N＝a1+a2+…+an (ak∈N*，k＝1，2，…，n)，则称a1×a2×

Answer 1

解题思路：（I）将6，7，8分别进行分解，然后写出它们的一个分解积，使其值最大即可；

（II）由（Ⅰ）可知，a_k（k=1，2，…，n）中可以有2个2，当a_k（k=1，2，…，n）有3个或3个以上的2时，可举反例说明，从而证得结论；

（Ⅲ）讨论a_k（k=1，2，…，n）中有1，有2，有4的个数，以及有大于4的数，从而得到a_k（k=1，2，…，n）中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个，从而可得a_k（k=1，2，…，n），使得N的分解积最大．

（Ⅰ）6=3+3，分解积的最大值为3×3=9；…（1分）

7=3+2+2=3+4，分解积的最大值为3×2×2=3×4=12；…（2分）

8=3+3+2，分解积的最大值为3×3×2=18．…（3分）

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，a_k（k=1，2，…，n）中可以有2个2．…（4分）

当a_k（k=1，2，…，n）有3个或3个以上的2时，

因为2+2+2=3+3，且2×2×2＜3×3，

所以，此时分解积不是最大的．

因此，ak(k∈N*)中至多有2个2． …（7分）

（Ⅲ）①当a_k（k=1，2，…，n）中有1时，

因为1+a_i=（a_i+1），且1×a_i＜a_i+1，

所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大．…（8分）

②由（Ⅱ）可知，a_k（k=1，2，…，n）中至多有2个2．

③当a_k（k=1，2，…，n）中有4时，

若将4分解为1+3，由 ①可知分解积不会最大；

若将4分解为2+2，则分解积相同；

若有两个4，因为4+4=3+3+2，且4×4＜3×3×2，所以将4+4改写为3+3+2，使得分解积更大．

因此，a_k（k=1，2，…，n）中至多有1个4，而且可以写成2+2． …（10分）

④当a_k（k=1，2，…，n）中有大于4的数时，不妨设a_i＞4，

因为a_i＜2（a_i-2），

所以将a_i分解为2+（a_i-2）会使得分解积更大．…（11分）

综上所述，a_k（k=1，2，…，n）中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．

于是，当N=3m（m∈N^*）时，N＝

3+3+…+3

m个使得分解积最大； …（12分）

当N=3m+1（m∈N^*）时，N＝

3+3+…+3

(m−1)个+2+2＝

3+3+…+3

点评：

本题考点： 数列的应用；数列与函数的综合．

考点点评： 本题主要考查了数列的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，以及计算能力，属于难题．