Question

已知f(x)=sin(e^t)的积分,积分下限是x,积分上限x+1,求证 |f(x)|*(e^x)

Answer 1

用积分第二中值定理：e^(-t)在[x x+1]上单调递减,非负,

f(x)=积分（从x到x+1）e^(--t)*sin(e^t)e^t=e^(--x)*积分（从x到b）e^tsin(e^t)dt,其中b位于[x,x+1]

=e^(--x)*积分（从e^x到e^b）sinydy

=e^(--x)*(cose^x--cose^b),

因此|f(x)e^x|=|cose^x--cose^b|