Question

已知A是椭圆长轴的一个端点,O是中心,若椭圆上存在一点P有OP垂直于AP,求椭圆离心率的取值范围.

Answer 1

因为A是这个椭圆的长轴端点,所以最后的临界就是在椭圆的圆周上只有关于X轴对称的两个点是符合要求的,

可以设这时候

直角端点的坐标为（x,y),椭圆方程为（X^2/A^2）+（Y^2/A^2-C^2）=1,其中^2是平方的意思

然后这时候运算公式是互相垂直的两条直线斜率相乘之积等于-1

所以有两个式子联立

（X^2/A^2）+（Y^2/A^2-C^2）=1

(Y/X)*(Y/X-A)=-1

然后消掉Y,得到

C^2X^2-A^3X+A^2(A^2-C^2)=0,只有一个根

最后代入离心率e=c/a,就能解出来e^2=0.5