Question

高一抽象函数 竞赛函数f(x+y^2)=f(x)+2(f(y))^2对x ,y属于任意实数成立,且f(1)不等于0求f(

Answer 1

令y=0

得f(x)=f(x)+2[f(0)]^2 2[f(0)]^2=0

f(0)=0

令y=1

得f(x+1)=f(x)+2[f(1)]^2

在此式中令x=0

得f(1)=f(0)+2[f(1)]^2=2[f(1)]^2

解得f(1)=1/2或0（舍去）

故f(x+1)=f(x)+1/2 x取整数时

f(x)可以看做首项为f(1),公差为1/2的等差数列

既f(x)=f(1)+(x-1)*(1/2)=x/2

f(2005)=2005/2