正七边形.正十一边形.正十三边形都不能.
早在公元前三世纪,希腊数学家欧几里得就知道,用圆规和直尺可以作出正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形、正十边形等等.但能不能作出正七边形、正九边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形呢?两千年来,谁也没有作到.可是一直有很多数学家在试作.数学家们认为总是能作出来的,谁也没有想一想或许用圆规和直尺根本作不出某些正多边形.
1796年3月30日德国戈丁根大学学生高斯用圆规和直尺,作出了正17边形.这下子解决了两千年来的一大难题.这是一个十分了不起的成就,还不满20岁的高斯,不仅作出了正十七边形,更可贵的是他还证明了单用圆规和直尺根本作不出正七边形、正九边形、正十一边形和正十四边形.他深入研究了多边形的规律,得出一个一般公式,清清楚楚地表示出哪些正多边形能作,哪些正多边形不能作.高斯就是这样,圆满周密地彻底解决了两千年来的一大难题.
这位了不起的青年学生,后来成了18、19世纪交替时期德国最杰出的数学家.
早在古希腊时代,人们就能够用直尺和圆规作出正三角形、正四边形、正五边形和正十五边形（以及它们的2n倍的正多边形）,但对其它一些正多边形,如正七边形、正十一边形、正十三边形、正十七边形应当如何作图的问题,却长期困扰着数学家们.
1796年,正在哥廷根大学读书的19岁的高斯成功地给出了正十七边形的尺规作图法.不仅如此,后来他还证明了：对于边数是质数的正多边形,当且仅当其边数是形如2exp(2exp(n))+1的费尔玛质数时,才能用尺规作图.(exp表示指数)
这就是说,正七边形、正十一边形、正十三边形是不能用尺规作出的,因为7、11、13不是费尔玛质数,但是能作出正十七边形.高斯的成果解决了困扰人们两千多年的几何问题,震撼了全世界.
17以后的费尔玛质数是257和65537.后来有人真的给出了正257边形尺规作图法,长达80多页!一位名叫盖尔美斯的用尺规作出了正65537边形,其手稿有整整一只手提箱,现在还保存在哥廷根大学.