Question

已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m，n∈N*都有a2m+1+a2n-1=2m+n-1+2（m-n）2

Answer 1

解题思路：（1）由题意，令m=2，n=1，得a₃=2a₂-a₁+2=6，令m=3，n=1，得a₅=2a₃-a₁+8=20，由已知得a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8，从而b_n+1-b_n=8，由此能证明{b_n}是公差为8的等差数列．

（2）由（1）知{b_n}是首项为b₁=a₃-a₁=6，公差为8的等差数列，从而c_n=2nq^n-1．由此能求出数列{c_n}的前n项和S_n．

（1）由题意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂-a₁+2=6

再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃-a₁+8=20…

当n∈N^*时，由已知（以n+2代替m）可得

a_2n+3+a_2n-1=2a_2n+1+8

于是[a_2（n+1）+1-a_2（n+1）-1]-（a_2n+1-a_2n-1）=8

即b_n+1-b_n=8

所以{b_n}是公差为8的等差数列

（2）由（1）解答可知{b_n}是首项为b₁=a₃-a₁=6，公差为8的等差数列

则b_n=8n-2，即a_2n+1-a_2n-1=8n-2

另由已知（令m=1）可得

a_n=

a2n+1+a1

2-（n-1）²．

那么a_n+1-a_n=

a2n+1+a2n−1

2-2n+1

=[8n−2/2]-2n+1=2n，

于是c_n=2nq^n-1．

当q=1时，S_n=2+4+6+…+2n=n（n+1）

当q≠1时，S_n=2•q⁰+4•q¹+6•q²+…+2n•q^n-1．

两边同乘以q，可得

qS_n=2•q¹+4•q²+6•q³+…+2n•qⁿ．

上述两式相减得

（1-q）S_n=2（1+q+q²+…+q^n-1）-2nqⁿ

=2•

1−qn

1−q-2nqⁿ

=2•

1−(n+1)qn+nqn+1

1−q，

∴S_n=2•

nqn+1−(n+1)qn+1

(q−1)2，

综上所述，S_n=

n(n+1)，q＝1

2•

nqn+1−(n+1)qn+1

(q−1)2，q≠1．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查等差数列的证明，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．