Question

已知数列{an}是首项为a1=[1/4]，公比q=[1/4]的等比数列．设bn+2=3log 14an（n∈N

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）依题意，可求得a_n=

(

1

4

)

n

，从而可求得b_n=3n-2；利用等差数列的定义判断即可；

（Ⅱ）利用裂项法可求得c_n=[1/3]（[1/3n−2]-[1/3n+1]），从而可求得数列{c_n}的前n项和S_n．

证明：（Ⅰ）∵数列{a_n}是首项为a₁=[1/4]，公比q=[1/4]的等比数列，

∴a_n=[1/4]•(

1

4)n−1=(

1

4)n，

∵b_n+2=3log

1

4a_n=3log

1

4(

1

4)n=3n（n∈N^*），

∴b_n=3n-2；

∴b_n+1-b_n=3（n+1）-2-（3n-2）=3，

∴数列{b_n}是以1为首项，3为公差的成等差数列．

（Ⅱ）∵c_n=[1

bn•bn+1=

1

(3n−2)[3(n+1)−2]=

1/3]（[1/3n−2]-[1/3n+1]），

∵数列{c_n}的前n项和为S_n，

∴S_n=c₁+c₂+…+c_n

=[1/3][（1-[1/4]）+（[1/4]-[1/7]）+…+（[1/3n−2]-[1/3n+1]）]

=[1/3]（1-[1/3n+1]）

=[n/3n+1]．

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 本题考查等差关系的确定及数列的求和，突出考查对数的运算性质及等比数列的通项公式与等差数列的判定，考查裂项法求和，属于中档题．