Question

已知等差数列{a n }为递增数列，且a 2 ，a 5 是方程x 2 -12x+27=0的两根，数列{b n }的前n项

Answer 1

（1）①∵等差数列{a _n}为递增数列，且a ₂，a ₅是方程x ²-12x+27=0的两根，

∴a ₂+a ₅=12，a ₂a ₅=27，

∵d＞0，∴a ₂=3，a ₅=9，

∴d=

a 5 - a 2

3 =2，a ₁=1，

∴a _n=2n-1（n∈N ^*）

②∵T _n=1-

1

2 b _n，

∴令n=1，得b ₁=

2

3 ，

当n≥2时，T _n=1-

1

2 b _n，T _n-1=1-

1

2 b _n-1，两式相减得，b _n=

1

2 b _n-1-

1

2 b _n，

∴

b n

b n-1 =

1

3 （n≥2），

数列{b _n}是以

2

3 为首项，

1

3 为公比的等比数列．

∴bn=

2

3 • (

1

3 ) n-1 = 2•

1

3 n （n∈N ^*）．

（2）∵bn= 2•

1

3 n ，C _n=

3 n b n

a n a n+1 ，

∴C _n=

3 n ×2×

1

3 n

(2n-1)(2n+1) =

1

2n-1 -

1

2n+1 ．

∴S _n= (1-

1

3 )+(

1

3 -

1

5 )+ …+ (

1

2n-1 -

1

2n+1 ) = 1-

1

2n+1 =

2n

2n+1 ．