Question

已知抛物线y=x2+2mx+n的顶点在直线y=-[1/2]x+[1/2]上，且过点（1，3），求这个抛物线的解析式．

Answer 1

解题思路：把抛物线解析式写成顶点式形式，求出顶点坐标，然后代入直线解析式得到关于m、n的方程，再把点（1，3）代入抛物线解析式并用m表示出n，再联立两方程消掉n得到关于m的一元二次方程求解得到m，再求出相应的n值，最后写出抛物线的解析式即可．

∵y=x²+2mx+n=（x+m）²-m²+n，

∴抛物线的顶点坐标为（-m，-m²+n），

∴-[1/2]×（-m）+[1/2]=-m²+n，

即2m²+m-2n+1=0①，

∵抛物线过点（1，3），

∴2m+n+1=3，

∴n=-2m+2②，

②代入①得，2m²+5m-3=0，

∴（2m-1）（m+3）=0，

∴2m-1=0，m+3=0，

解得m₁=[1/2]，m₂=-3，

当m₁=[1/2]时，n=-2×[1/2]+2=1，

当m₂=-3时，n=-2×（-3）+2=8，

∴抛物线的解析式为y=x²+x+1或y=x²-6x+8．

点评：

本题考点： 待定系数法求二次函数解析式．

考点点评： 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，得到两个关于m、n的方程是解题的关键，也是本题的难点．