求教一题数列的错位相减法1,30,500,7000……,求此数列的通项公式及前n项和的公式通项公式:(2n-1)×10^

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  • a(n)=(2n-1)*10^(n-1)=2n*10^(n-1)-10^(n-1)

    S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)

    =2*1*1-1 + 2*2*10-10 + ...+ 2n*10^(n-1)-10^(n-1)

    =2[1*1 +2*10 + ...+ n*10^(n-1)] - [1 + 10 + ...+ 10^(n-1)][分组求和]

    =2T(n) - [10^n-1]/(10-1).

    T(n) = 1*1 + 2*10 + 3*10^2 + ...+ (n-1)*10^(n-2) + n*10^(n-1),

    10T(n) = 1*10 + 2*10^2 + 3*10^3 + ...+ (n-1)*10^(n-1) + n*10^n.

    9T(n)=10T(n)-T(n)=n*10^n-1-10-10^2-...-10^(n-1)=n*10^n-[10^n-1]/(10-1),[错位相减]

    T(n)=(n/9)*10^n - [10^n-1]/81

    S(n)=2T(n)-[10^n-1]/9

    =2n*10^n/9 - 2[10^n-1]/81 - [10^n-1]/9

    =[18n*10^n - 2*10^n + 2 - 9*10^n + 9]/81

    =[18n*10^n - 11*10^n + 11]/81