解题思路：函数
f(x)＝
m−2sinx
cosx
在区间
(0，
π
2
)
上单调递减，利用单调减函数的定义，可以转化为在区间
(0，
π
2
)
上不等式的恒成立问题，进而转化为：
m＜(
2sin(
x
1
−
x
2
)
cos
x
2
−cos
x
1
)在区间(0，
π
2
)上的最小值
．结合区间
(0，
π
2
)
可求实数m的取值范围．
已知条件实际上给出了一个在区间(0，
π
2)上恒成立的不等式．
任取x1，x2∈(0，
π
2)，且x1＜x2，则不等式f（x1）＞f（x2）恒成立，即
m−2sinx1
cosx1＞
m−2sinx2
cosx2恒成立．化简得m（cosx2-cosx1）＞2sin（x1-x2）
由0＜x1＜x2＜
π
2可知：cosx2-cosx1＜0，所以m＜
2sin(x1−x2)
cosx2−cosx1
上式恒成立的条件为：m＜(
2sin(x1−x2)
cosx2−cosx1)在区间(0，
π
2)上的最小值．
由于
2sin(x1−x2)
cosx2−cosx1＝
4sin
x1−x2
2cos
x1−x2
2
2sin
x1+x2
2sin
x1−x2
2＝
2cos
x1−x2
2
sin
x1+x2
2=
2(cos
x1
2cos
x2
2+sin
点评：
本题考点： 函数恒成立问题；二倍角的正弦；二倍角的余弦．
考点点评： 本题的考点是函数恒成立问题，主要考查利用函数的单调性解决恒成立问题，关键是分离参数，利用函数的最值（或范围），有较强的技巧．