Question

已知函数f（x）=log3mx2+8x+nx2+1的定义域为R，值域为[0，2]，求m．n的值．

Answer 1

解题思路：令y=

mx

2

+8x+n

x

2

+1

，则 1≤y≤9，且（y-m）•x²-8x+y-n=0 成立，故判别式△≥0，即 y²-（m+n）y+mn-16

≤0．再根据 y=1和y=9是方程 y²-（m+n）y+mn-16=0的两个根，求出m、n的值．

由于f（x）=log₃

mx2+8x+n

x2+1的定义域为R，∵x²+1＞0，故mx²+8x+n＞0恒成立．

令y=

mx2+8x+n

x2+1，由于函数f（x）的值域为[0，2]，则 1≤y≤9，且（y-m）•x²-8x+y-n=0 成立．

由于x∈R，①若y-m≠0，∴方程的判别式△=64-4（y-m）（y-n）≥0，即 y²-（m+n）y+mn-16≤0．

∴y=1和y=9是方程 y²-（m+n）y+mn-16=0的两个根，

∴m+n=10，mn-16=9，解得m=n=5．

②若y-m=0，即y=m=n=5 时，对应的x=0，符合条件．

综上可得，m=n=5．

点评：

本题考点： 对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．

考点点评： 本题考查指数式与对数式的互化，一元二次方程根与系数的关系，属于中档题．