Question

已知矩形ABCD中,AB=根号2,AD=1.将三角形沿BD折起,使A在平面BCD射影落在DC上.求C到平面ABD距离

Answer 1

在折叠后的三棱锥上,作AH⊥平面BCD,

则H在CD上,即是A在平面BCD上的射影,

AD=1,AB=√2,BD=√3,

∵BC⊥CD,而AH∈平面ACD,

AH⊥平面BCD,

∴平面ACD⊥平面BCD,

∴BC⊥平面ACD,

∵AC∈平面ACD,

∴BC⊥AC,

根据勾股定理,

AC=1,△ABC是等腰RT△,

根据勾股逆定理,

△ADC也是等腰RT△,

AE=BD/2=√3/2,

CE=BD/2=√3/2,

要求出D至平面ACE的距离,可以用等体积法,求出三棱锥A-DCE体积,再求出三角形ACE面积,即可求出D至平面ACE的距离.

在三角形DAC中,

AH=CD/2=√2/2,

S△DCE= S△BCD/2=√2/2/2=√2/4,

V三棱锥A-CDE=AH* S△DCE/3=1/12,

在平面ACE中作EF⊥AC,

三角形AEC是等腰三角形,

EF=√2/2,

S△ACE=AC*EF/2=√2/4,

设D点至平面ACE距离为d,

VD-ACE= S△ACE*d/3=d√2/12,

V三棱锥A-CDE= V三棱锥D-ACE,

d√2/12=1/12,

d=√2/2,

∴D至平面ACE距离为√2/2.