过点C(0,1)的椭圆x²/a² +y²/b²=1(a>b>0)的离心率为(√3)/2,椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,o),过点C的直线L与椭圆交于另一点D,并与x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q.
（1）当直线L过椭圆右焦点时,求线段CD的长；
（2）当点P异于点B时,求证；向量OP点乘向量OQ为定值.
（1）把C(0,1)代入x²/a² +y²/b²=1得
b=1
又离心率为(√3)/2,即
c/a=(√3)/2
两边平方得
3a²=4c²
把c²=a²-b²=a²-1代入得
a=2
当直线L过椭圆右焦点(√3,0)时
L：x/√3+y=1
把L代入椭圆x²/4 +y²=1得
7x²-(8√3)x=0
即
x₁=0 ,x₂=(8√3)/7
故
CD=√[1+(-1/√3)²]| x₁- x₂|=[√(4/3)][(8√3)/7]=16/7
（2）设P(p,0),p≠-2,则
L：x/p+y=1
代入椭圆x²/4 +y²=1易得
x₁=0 ,x₂=(2/p)/[(1/4)+(1/p²)]=8p/(4+p²)
从而
D(8p/(4+p²),(p²-4)/(p²+4))
直线BD的方程为
y={[(p²-4)/(p²+4)-0]/[8p/(4+p²)-(-2)]}[x-(-2)]
直线AC的方程为
x/2+y=1
联列直线BD、AC的方程得
Q(4/p,1-2/p)
故
(向量OP)·(向量OQ)
=(p,0)·(4/p,1-2/p)
=p·(4/p)+0·(1-2/p)
=4
证毕
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