Question

已知函数 f(x)=lo g 1 2 [x 2 -2（2a-1）x+8]（a∈R）

Answer 1

（1）∵函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，

∴

2a-1≤a

a 2 -2(2a-1)a+8＞0

∴ -

4

3 ＜a≤1 ；

（2）当a=

3

4 时， f(x)=lo g

1

2 ( x 2 -x+8)

∴y=f（ sin(2x-

π

3 ) ）= lo g

1

2 [sin(2x-

π

3 )-

1

2 ] 2 +

31

4 ，

∵x∈[

π

12 ，

π

2 ]，∴ -

π

6 ≤ 2x-

π

3 ≤

2π

3 ，∴-

1

2 ≤sin（ 2x-

π

3 ）≤1

∴函数的值域为[ lo g

1

2 10，lo g

1

2

35

4 ]；

（3）原方可化为x ²-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，

即 4a=x+

2

x ，x∈[1，3]，由双勾图形可知： 3＜4a≤

11

3 或4a= 2

2 ，

即

3

4 ＜a≤

11

12 或a=

2

2 ．