Question

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F,离心率是1/2,过F作直线l交椭圆于A,B两

Answer 1

c/a=1/2,a=2c,b^2=a^2-c^2=3c^2

所以椭圆方程为：x^2/4c^2+y^2/3c^2=1,即3x^2+4y^2=12c^2

F(c,0),l过（c,0)

设l:x=my+c,(m=1/k不为0)

与椭圆联立,消x,得（3m^2+4)y^2+6mcy-9c^2=0

即yA+yB=-6mc/(3m^2+4)

yAyB=-9c^2/(3m^2+4)

又P是AB中点,yP=(yA+yB)/2=-3mc/(3m^2+4),

S三角形PFO=1/2*|OF|*|yP|=1/2*c*|3mc/(3m^2+4)|=1/2*c^2*3|m|/(3m^2+4)

又设f(m)=|m|/(3m^2+4)=1/[3|m|+4/|m|]

又3|m|+4/|m|>=2跟号12=4根号3,当m=正负(2倍根号3)/3时等号成立

所以f(m)