Question

设数列{an}的前n项和为Sn，若对于任意的n∈N*，都有Sn=2an-3n．

Answer 1

解题思路：（1）令n=1，由S₁=2a₁-3，知a₁=3，再由S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，知a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，由此能求出a_n+1=2a_n+3．

（2）按照定理：A=2，B=3，{a_n+3}是公比为2的等比数列，由此能求出数列{a_n}的通项公式．

（3）由a_n=6•2^n-1-3，知S_n=（6-3）+（6×2-3）+（6×3-3）+…+（6×2^n-1-3），由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

（1）令n=1，S₁=2a₁-3．∴a₁=3

又S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，

两式相减得，a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，（3分）

则a_n+1=2a_n+3（4分）

（2）按照定理：A=2，B=3，

∴{a_n+3}是公比为2的等比数列．

则a_n+3=（a₁+3）•2^n-1=6•2^n-1，∴a_n=6•2^n-1-3．（8分）

（3）∵a_n=6•2^n-1-3，

∴S_n=（6-3）+（6×2-3）+（6×4-3）+…+（6×2^n-1-3），

∴Sn＝

6(1−2n)

1−2−3n＝6•2n−3n−6．（12分）

点评：

本题考点： 数列递推式；等比数列的前n项和；等比关系的确定．

考点点评： 本题考查数列的性质和应用，解题时要注意数列的通项公式的求法和等比数列前n项和的应用．